幾何分佈的期望與方差公式怎麼推導 ?
幾何分佈的期望與方差公式怎麼推導
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
下面計算幾何分佈的學期望，
Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ①
當然
(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p
(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
①－②得
p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p
所以
Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)
=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)
=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p
=1/p
若要計算方差，可以根據公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2計算，
其中E(ξ^2)的計算過程如下：
E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ①
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
由①得
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③
③－②得
p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤
由④得
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥
⑥－⑤得.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p
=1/p＋2*(1-p)/p/p
=(2-p)/p......
n個服從幾何分佈的獨立同分布隨機變數，加起來之後的方差怎麼求
你好！根據性質，它們和的方差等於各變數方差之和，每個幾何分佈的方差是(1-p)/p^2，所以總的方差是n(1-p)/p^2。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
如何求隨機變數X服從幾何分佈的期望和方差
你好！根據性質，它們和的方差等於各變數方差之和，每個幾何分佈的方差是(1-p)/p^2，所以總的方差是n(1-p)/p^2。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！