學知識，我們都希望原理清楚，知道公式定理是怎麼得來的，正如平面圖形的面積公式、立體圖形的體積公式，記起來又輕鬆又牢固。
中學數學的數列知識，講到了十幾個常用數列，可是這些數列，幾乎大多都看不出，前 n 項和的公式是怎麼得到的，前 n 項和的公式記起來就相當麻煩了，怎麼辦呢？
告訴大家，我找到規律，這些數列和，都與連續數字的乘積有關，我們一起看看吧，自己動手把公式推匯出來，記起來肯定就輕鬆方便了。
讓我們在原料堆裡面，先把這些常用數列分成幾大類吧。
工具/原料
等差數列，規律明顯，最簡單了
1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2
2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"
二次方的數列，至少兩個
1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6
1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3
三次方的數列，也至少兩個
1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]"
1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1)
連續數字乘積的數列
1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6
1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 + 4X5X6 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
連續數字乘積變成倒數的數列
1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4) + 1/(4X5) +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1)
1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5) +……+ 1/n(n+1)(n+2) = (1/2)[ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ]
連續數字乘積的數列，究竟有什麼規律
1X2 + 2X3 + 3X4 +……+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
連續兩個數字乘積的數列，通項是 n(n+1) ，為什麼前 n 項的和是 n(n+1)(n+2)/3 呢？
讓我們取數列的前三項，算一算吧
1X2 + 2X3 + 3X4
= 1X2X3/3 + 2X3X3/3 + 3X4X3/3
= [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) ] / 3
= [ 1X2X3 - 1X2X3 + 2X3X4 - 2X3X4 + 3X4X5 ] / 3
= 3 X 4 X 5 / 3
哦，數列前 n 項的和 n(n+1)(n+2)/3 ，原來是這樣得到的
連續兩個數字乘積的數列，第一項是 1X2 ，乘以 3 變成 1X2X3 ，就是連續三個數字的乘積，整個數列都乘以 3 和 1/3 ，就可以確保計算結果不變；
後面各項的 n(n+1) 乘以 3 之後，都可以變成 n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) 的相差數；
後一項分開的 (n-1)n(n+1) ，都正好與前一項分開的 n(n+1)(n+2) 相互抵消，只剩下最後一項分開的 n(n+1)(n+2)，最終結果就是 n(n+1)(n+2)/3
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5 +……+ n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
連續三個數字乘積的數列，前 n 項的和是 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，方法也是這樣吧
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5
= [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-3) ] / 4
= 3 X 4 X 5 X 6 / 4
沒錯，前 n 項的和 n(n+1)(n+2)(n+3)/4 ，也是這樣得來的
1+ 3+ 6+ 10 +……+ n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6
這就是把連續兩個數字乘積的數列除以 2，不用再說了
要知道，這個數列的通項式 n(n+1)/2 ，也正是自然數列的前 n 項和的公式
如果從上往下，物體頂上第一層 1 個，第二層擺成 1+2 ，第三層擺成 1+2+3 ，第四層擺成 1+2+3+4 ……像臺階或正四面體的形狀，計算總數量時，就會用到這個公式。
1 + 3 + 6 + 10
= 1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4)
= [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 ] / 2
= [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] / 6
= 4 X 5 X 6 / 6
數列通項是 n(n+1)/2 ，前 n 項的和就是 n(n+1)(n+2)/6
連續數字的乘積變成倒數，又是怎麼回事
1/2 + 1/6 + 1/12 +……+ 1/n(n+1) = n/(n+1)
連續兩個數字的乘積，在數列通項中變成倒數，也是大同小異的演算法嗎
1/(1X2) + 1/(2X3) + 1/(3X4)
= (2-1)/(1X2) + (3-2)/(2X3) + (4-3)/(3X4)
= 2/(1X2) - 1/(1X2) + 3/(2X3) - 2/(2X3) + 4/(3X4) - 3/(3X4)
= 1 -1/2 + 1/2 -1/3 + 1/3 -1/4
= 1 -1/4
= 3 / 4
= 3 / (3+1)
數列通項是 1/n(n+1)，前 n 項的和就是 n/(n+1)
1/6 + 1/24 + 1/60 +……+ 1/n(n+1)(n+2) = [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2
在數列通項中，連續三個數字的乘積變成倒數，方法也是這樣
1/(1X2X3) + 1/(2X3X4) + 1/(3X4X5)
= [ (3-1)/(1X2X3) + (4-2)/(2X3X4) + (5-3)/(3X4X5) ] / 2
= [ 1/(1X2) - 1/(2X3) + 1/(2X3) - 1/(3X4) + 1/(3X4) - 1/(4X5) ] / 2
= [ 1/(1X2) - 1/(4X5) ] / 2
= [ 1/2 - 1/(3+1)(3+2) ] / 2
數列通項是 1/n(n+1)(n+2)，前 n 項的和就是 [ 1/2 - 1/(n+1)(n+2) ] / 2
回到最簡單的，等差數列也這樣算一算
自然數的數列，1+ 2+ 3+ 4 +……+ n = n(n+1)/2
這個 n(n+1)/2，等差數列說，是最大項加最小項的和，乘以項數以後，去掉重複除以2；
我就覺得，這個 n(n+1)/2，並非像梯形面積 (a+b) h / 2 那樣，或許就是為了變成連續數字的乘積，讓我們取數列前四項算算吧
1 + 2 + 3 + 4
= [ 1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2 ] / 2
= [ 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3) ] / 2
= 4 X 5 / 2
= 4 X (4+1) / 2
看出來了，數列第一項是 1，變成連續數字的乘積就是 1X2，計算前 n 項的和，就要把整個數列乘以 2 和倒數 1/2 ，確保和不變；
後面各項再把 2 變成 n(n +1) - n(n -1) ，後一項的 n(n -1) 也都與前一項的 n(n +1) 相互抵消，只剩下最後一項的 n(n + 1) ，結果最終就是 n(n+1)/2
偶數的數列，2+ 4+ 6+ 8 +……+ 2n = n(n+1)
偶數的數列就是自然數列的 2 倍，那麼直接把 2 變成一對對相差數就行了
1X2 + 2X2 + 3X2 + 4X2
= 1X2 + 2X(3-1) + 3X(4-2) + 4X(5-3)
= 4 X 5
= 4 X (4+1)
數列通項是 2n，前 n 項的和就是 n(n+1)
奇數的數列，1+ 3+ 5+ 7 +……+ 2n-1 = n"
奇數的數列，每一項都比偶數小 1，算起來就一樣
1 + 3 + 5 + 7
= 1X2 -1 + 2X2 -1 + 3X2 -1 + 4X2 -1
= 4X5 - 4X1
= 4 X 4
數列通項是 2n-1，前 n 項的和就是 n"
二次方的數列，再這樣算一算
1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 +……+ n" = n(n+1)(2n+1)/6
自然數二次方的數列，我們取前四項，變成連續數字的乘積看看
1X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4
= 1X(2-1) + 2X(3-1) + 3X(4-1) + 4X(5-1)
= 1X2 -1 + 2X3 -2 + 3X4 -3 + 4X5 -4
= [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) ] /3 -(1+ 2+ 3+ 4)
= 4X5X6 /3 - 4X5 /2
還原字母，算出公式
= n(n+1)(n+2)/3 - n(n+1)/2
= n(n + 1)[ 2(n+2) /6 - 3/6 ]
= n(n + 1)[ 2n + 4 - 3 ]/6
= n(n + 1)(2n + 1)/6
通項是 n" ，前 n 項的和是 n(n + 1)(2n + 1)/6 ，公式可以這樣算出來
1X1 + 3X3 + 5X5 + 7X7 +……+ (2n-1)" = n(4n" -1)/3
奇數二次方的數列，再取前三項，變成連續數字的乘積算一算
1X1 + 3X3 + 5X5
= 1 + 3X(1+2) + 5X(2+3)
= [ 1X2 + (2+4)X3 + (4+6)X5 ] / 2
= [ 1X2 + 2X3 + 3X4 + 4X5 + 5X6 ] / 2
= [ 1X2X3 + 2X3X(4-1) + 3X4X(5-2) + 4X5X(6-3) + 5X6X(7-4) ] / 6
= 5 X 6 X 7 / 6
還原字母，算出公式
= (2n -1)(2n)(2n +1)/6
= n(4n" -1)/3
通項是 (2n -1)" ，前 n 項的和 n(4n" - 1)/6 ，原來有這樣的聯絡
三次方的數列，還是這樣算一算
1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4 +……+ n^3 = [ n(n+1)/2 ]"
自然數三次方的數列，變成連續數字乘積的數列應該更方便，瞧
5 X 5 X 5
= 5X( 5" - 1" + 1)
= 5X(5 - 1)(5 + 1) + 5 X 1
= 4X5X6 + 5
數列我們就取前四項算算看吧
1X1X1 + 2X2X2 + 3X3X3 + 4X4X4
= 1+ 2+ 3+ 4+ 1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5
= 4X5 /2 + [ 1X2X3X4 + 2X3X4X(5-1) + 3X4X5X(6-2) ] / 4
= 4X5 /2 + 3X4X5X6 /4
還原字母，算出公式
= n(n + 1)/2 + (n-1)n(n+1)(n+2)/4
= n(n + 1)[ 2/4 + (n-1)(n+2)/4 ]
= n(n + 1)[ 2 + n" + 2n - n - 2 ] / 4
= n(n + 1)(n" + n) / 4
= [ n (n + 1) / 2 ]"
數列的通項是 n^3 ，前n項和就是 [ n(n+1)/2 ]"
其實
1 + 8 + 27 + 64 + 125
= 9 + 27 + 64 + 125
= 36 + 64 + 125
= 100 + 125
= 225
這個數列只要把前幾項像這樣耐心地加一遍，我們就會發現，1、9、36、100、225 這幾個前n項的和，也正好是 1、3、6、10、15……n(n+1)/2 的二次方。
1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7 +……+ (2n-1)^3 = n"(2n" -1)
奇數三次方的數列，我們還是取前四項，變成連續數字的乘積算一算
1X1X1 + 3X3X3 + 5X5X5 + 7X7X7
= 1+ 3+ 5+ 7 + 2X3X4 + 4X5X6 + 6X7X8
= 4X4 + 2X1X3X2X2 + 2X2X5X3X2 + 2X3X7X4X2
= 4X4 + 4X1X2X3 + 4X2X3X(1+4) + 4X3X4X(2+5)
= 4X4 + 4X1X2X3 + 4X1X2X3 + 4X2X3X4 + 4X2X3X4 + 4X3X4X5
= 4X4 + [1X2X3X4]X2 + [2X3X4X(5-1)]X2 + 3X4X5X(6-2)
= 4X4 + (2X3X4X5)X2 - 2X3X4X5 + 3X4X5X6
= 4X4 + 2X3X4X5 + 3X4X5X6
還原字母，算出公式
= n" + (n-2)(n-1)n(n+1) + (n-1)n(n+1)(n+2)
= n" + n(n" -1)[ (n - 2) + (n + 2) ]
= n" + n(n" -1)(2n)
= n" + n"(2n" - 2)
= n"(2n" - 2 + 1)
= n"(2n" - 1)
數列的通項是 (2n-1)^3，前n項和就是 n"(2n"-1)
注意事項
連續數字乘積的數列，計算前 n 項的和，方法就是用相差數。例如 n(n+1) ，先把連續數字的乘積，再增加一個連續的因數 (n+2) ，再把原來一組連續數字的乘積，變成兩組乘積的差，前面一組組乘積加減相等，相互抵消，就只剩下最後一項變的 n(n+1)(n+2) 。可是也不能忘記，最先 1X2 乘了 3 ，最終 n(n+1)(n+2) 就還得除以 3 。
我們找到方法，其餘這些數列前 n 項和的公式，也可以這樣推導算出來，這樣記起來也就輕鬆多了，也能夠記得更牢固。公式經過自己的推導，印象一定加深了不少。今後假如我們一時想不起公式，還可以根據這個方法，自己重新把公式推匯出來。