斐波那契數列（Fibonacci Sequence）又稱黃金分割數列。
該數列指的是這樣的一列數字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368…
特別指出：第0項是0，第1項是第一個1。此數列從第2項開始，每一項都等於前兩項之和。
在數學上，斐波納契數列被以遞歸的方法定義：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2，n∈N*)。
在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有著直接的應用。美國數學會從1963年起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載斐波那契數列此方面的研究成果。
斐波那契數列
斐波那契數列的發明者，意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。
列昂那多·斐波那契於1202年研究兔子產崽問題時發現了此數列。設一對大兔子每月生一對小兔子，每對新生兔在出生一個月後又下崽，假若兔子都不死亡。問：一對兔子一年能繁殖成多少對兔子？
題中本質上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，為大兔子；新生的兔子不能生殖，為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子，求的是大兔子與小兔子的總和？
十二月時有大兔子144對，小兔子89對，共有兔子144+89=233對
從上表看出：
①每月小兔對數=上月大兔對數
②每月大兔對數等於上個月大兔對數與小兔對數之
綜合①②兩點可得：每月大兔對數等於前兩個月大兔對數之和 如果用un表示第n月的大兔對數，則有un=un-1+un-2(n > 2)
每月大兔對數un排成數列為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…
那麼此組數列就稱為斐波那契數列
斐波那契數列通項公式
遞推公式：
斐波那契數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N*)，那麼這句話可以寫成如下形式：顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式：
此公式又稱為“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。
斐波那契數列應用
生活中的斐波那契數列
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、一些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
斐波那契數與植物花瓣：
3————————蘭花、百合花、茉莉花
5————————藍花耬鬥菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花
8————————翠雀花
13————————金盞和玫瑰
21————————紫宛
34、55、89————雛菊
斐波那契數還可以在植物葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），一直到與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序，多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
黃金分割
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887…
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列：1、1、2、3、5、8…
公式表示如下：
f⑴=C(0、0)=1
f⑵=C(1、0)=1
f⑶=C(2、0)+C(1、1)=1+1=2
f⑷=C(3、0)+C(2、1)=1+2=3
f⑸=C(4、0)+C(3、1)+C(2、2)=1+3+1=5
f⑹=C(5、0)+C(4、1)+C(3、2)=1+4+3=8
f⑺=C(6、0)+C(5、1)+C(4、2)+C(3、3)=1+5+6+1=13
……
F(n)=C(n-1、0)+C(n-2、1)+…+C(n-1-m、m) (m<=n-1-m)
質數數量
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個連續的數中有且只有一個被2整除
每4個連續的數中有且只有一個被3整除
每5個連續的數中有且只有一個被5整除
每6個連續的數中有且只有一個被8整除
每7個連續的數中有且只有一個被13整除
每8個連續的數中有且只有一個被21整除
每9個連續的數中有且只有一個被34整除
.......
可以看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5、13、89、233、1597、28657
尾數循環
斐波那契數列的個位數：一個60步的循環11235、83145、94370、77415、61785、38190、99875、27965、16730、33695、49325、72910…
進一步，斐波那契數列的最後兩位數是一個300步的循環，最後三位數是一個1500步的循環，最後四位數是一個15000步的循環，最後五位數是一個150000步的循環…
自然界中巧合
斐波那契數列在自然科學的其他分支同樣有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發;此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
注意事項
數字是一種充滿神祕色彩而又與我們息息相關的東西，數字的奧妙無窮無盡。