如何解圓錐曲線選擇填空題：[3]最值問題(上)?

最值問題是高考的熱點，而圓錐曲線的最值問題幾乎是高考的必考點，不僅會在選擇題或填空題中進行考察，在綜合題中也往往將其設計為試題考查的核心。

圓錐曲線的最值問題，一般涉及的內容有

1.兩條線段最值問題

2.圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值

3.圓錐曲線上點到x軸或y軸上某定點的距離的最值等等

講到最值問題，肯定有不等號。而常用的方法有

1.圓錐曲線本身的性質，例如橢圓中a>b>0

2.不等式的性質，例如均值不等式

3.利用引數方程進行換元

下面結合例題講一講

方法/步驟

例1

分析題目可知，根據拋物線定義，P點到焦點距離等於P點到準線距離。題目即求P點到準線距離跟PQ的和的最小值。由圖可知，當且僅當P在直線y=-1時，距離之和最小。

例2

分析題目，單從 PF + PA 好像無從下手，可以引入另一焦點F',使P,A,F'在同一側，由 PF =2a+ PF' ，分析從而得出兩邊之和大於第三邊，當且僅當三點在同一直線時距離之和最小的結論。

當所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點。

例3

由計算可知，圓心到直線的距離大於半徑，即圓跟直線相離。那麼圓上一點到直線的最小距離就是圓心到直線的距離減去半徑。

另一解法是先設跟圓相切的平行直線方程，然後聯立圓的方程，根據△=0求出直線的方程。再求兩平行直線的距離。

對比第一種解法，這種解法的計算量較大。所以，一般跟圓相關的計算，建議還是用點到直線的距離公式比較好。

上例上，如果是圓錐曲線跟直線呢？

例4

遇到這個問題，一般都是先設出平行直線方程，然後將直線方程跟圓錐曲線聯立，求出直線方程。再求兩直線的距離。