武漢市九年級數學上冊期末試卷
經歷了九年級一學期的努力奮戰，檢驗學習成果的時刻就要到了，在即將到來的期末考試，教師們要準備哪些期末試卷的內容呢?下面是小編為大家帶來的關於，希望會給大家帶來幫助。
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一、選擇題***共10小題，每小題3分，滿分30分***
1.方程2x2﹣3x+2=0的二次項係數和一次項係數分別為*** ***
A.3和﹣2 B.2和﹣3 C.2和3 D.﹣3和2
【考點】一元二次方程的一般形式.
【分析】根據方程得出二次項係數和一次項係數即可.
【解答】解：2x2﹣3x+2=0
二次項係數為2，一次項係數為﹣3，
故選B.
【點評】本題考查了對一元二次方程的一般形式的應用，能理解題意是解此題的關鍵，注意：說各個項的係數帶著前面的符號.
2.一元二次方程x2﹣2x+m=0總有實數根，則m應滿足的條件是*** ***
A.m>1 B.m=1 C.m<1 D.m≤1
【考點】根的判別式.
【分析】根據根的判別式，令△≥0，建立關於m的不等式，解答即可.
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0總有實數根，
∴△≥0，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1.
故選：D.
【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關係：
***1***△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
***2***△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
***3***△<0⇔方程沒有實數根.
3.將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個單位，再向上平移2個單位後所得到的拋物線為*** ***
A.y=﹣2***x+1***2﹣1 B.y=﹣2***x+1***2+3 C.y=﹣2***x﹣1***2+1 D.y=﹣2***x﹣1***2+3
【考點】二次函式圖象與幾何變換.
【專題】幾何變換.
【分析】根據圖象右移減，上移加，可得答案.
【解答】解;將拋物線y=﹣2x2+1向右平移1個單位，再向上平移2個單位後所得到的拋物線為y=﹣2***x﹣1***2+3，
故選：D.
【點評】本題考查了二次函式圖象與幾何變換，函式圖象平移的規律是：左加右減，上加下減.
4.已知圓錐的底面半徑是3，高是4，則這個圓錐的全面積是*** ***
A.12π B.15π C.24π D.30π
【考點】圓錐的計算.
【專題】計算題.
【分析】先利用勾股定理計算出母線長，再利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於圓錐的母線長計算出圓錐的側面積，然後計算側面積與底面積的和即可.
【解答】解：圓錐的母線長= =5，
所以這個圓錐的全面積=π•32+ •2π•3•5=24π.
故選C.
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於圓錐的母線長.
5.⊙O的直徑AB垂直於弦CD，垂足為E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為*** ***
A.2 B.4 C.4 D.8
【考點】垂徑定理;等腰直角三角形;圓周角定理.
【分析】根據圓周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由於⊙O的直徑AB垂直於弦CD，根據垂徑定理得CE=DE，且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE= OC=2 ，然後利用CD=2CE進行計算.
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直徑AB垂直於弦CD，
∴CE=DE，△OCE為等腰直角三角形，
∴CE= OC=2 ，
∴CD=2CE=4 .
故選：C.
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性質和垂徑定理.
6.在平面直角座標系中，點M***3，﹣5***關於原點對稱的點的座標是*** ***
A.***﹣3，﹣5*** B.***3，5*** C.***5，﹣3*** D.***﹣3，5***
【考點】關於原點對稱的點的座標.
【分析】根據兩個點關於原點對稱時，它們的座標符號相反可得答案.
【解答】解：點M***3，﹣5***關於原點對稱的點的座標是***﹣3，5***，
故選：D.
【點評】此題主要考查了關於原點對稱的點的座標，關鍵是掌握點的座標的變化規律.
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關係是*** ***
A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【考點】直線與圓的位置關係.
【專題】壓軸題.
【分析】作CD⊥AB於點D.根據三角函式求CD的長，與圓的半徑比較，作出判斷.
【解答】解：作CD⊥AB於點D.
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴CD= BC=2cm，
即CD等於圓的半徑.
∵CD⊥AB，
∴AB與⊙C相切.
故選：B.
【點評】此題考查直線與圓的位置關係的判定方法.通常根據圓的半徑R與圓心到直線的距離d的大小判斷：
當R>d時，直線與圓相交;當R=d時，直線與圓相切;當R
8.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0時，配方後得的方程為*** ***
A.***x+1***2=0 B.***x﹣1***2=0 C.***x+1***2=2 D.***x﹣1***2=2
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本題中，把常數項﹣1移項後，應該在左右兩邊同時加上一次項係數﹣2的一半的平方.
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常數項移到等號的右邊，得到x2﹣2x=1，
方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1
配方得***x﹣1***2=2.
故選D.
【點評】考查瞭解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟：
***1***把常數項移到等號的右邊;
***2***把二次項的係數化為1;
***3***等式兩邊同時加上一次項係數一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的係數為1，一次項的係數是2的倍數.
9.已知二次函式y=﹣***x+h***2，當x<﹣3時，y隨x增大而增大，當x>0時，y隨x增大而減小，且h滿足h2﹣2h﹣3=0，則當x=0時，y的值為*** ***
A.﹣1 B.1 C.﹣9 D.9
【考點】二次函式的性質.
【分析】根據h2﹣2h﹣3=0，求得h=3或﹣1，根據當x<﹣3時，y隨x增大而增大，當x>0時，y隨x增大而減小，從而判斷h=3符合題意，然後把x=0代入解析式求得y的值.
【解答】解：∵h2﹣2h﹣3=0，
∴h=3或﹣1，
∵當x<﹣3時，y隨x增大而增大，當x>0時，y隨x增大而減小，
∴h=3符合題意，
∴二次函式為y=﹣***x+3***2，
當x=0時，y=﹣9.
故選C.
【點評】本題考查了二次函式的性質，根據題意確定h=3是解題的關鍵.
10.⊙A與⊙B外切於點D，PC，PD，PE分別是圓的切線，C，D，E是切點.若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半徑為R，則 的長度是*** ***
A. B. C. D.
【考點】弧長的計算;多邊形內角與外角;圓周角定理;切線的性質;切線長定理.
【專題】壓軸題.
【分析】點C、D、E都在⊙P上，由圓周角定理可得：∠DPE=2y°;然後在四邊形BDPE中，求出∠B;最後利用弧長公式計算出結果.
【解答】解：根據題意，由切線長定理可知：PC=PD=PE，
即點C、D、E在以P為圓心，PC長為半徑的⊙P上，
由圓周角定理得：∠DPE=2∠ECD=2y°.
連線BD、BE，則∠BDP=∠BEP=90°，
在四邊形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP=360°，
即：∠B+90°+2y°+90°=360°，
解得：∠B=180°﹣2y°.
∴ 的長度是： = .
故選B.
【點評】本題考查圓的相關性質.解題關鍵是確定點C、D、E在⊙P上，從而由圓周角定理得到∠DPE=2∠ECD=2y°.
二、填空題***每小題3分，共18分***
11.方程x2﹣2x﹣ =0的判別式的值等於5.
【考點】根的判別式.
【分析】寫出a、b、c的值，再根據根的判別式△=b2﹣4ac代入資料進行計算即可.
【解答】解：由題意得：a=1，b=﹣2，c=﹣ ，
△=b2﹣4ac=***﹣2***2﹣4×1×***﹣ ***=5.
故答案為：5.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0，a，b，c為常數***根的判別式.當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.
12.拋物線y=﹣ x2﹣2x+1的頂點座標為***﹣2，3***.
【考點】二次函式的性質.
【專題】推理填空題.
【分析】將y=﹣ x2﹣2x+1化為頂點式即可得拋物線的頂點座標，本題得以解決.
【解答】解：∵y=﹣ x2﹣2x+1
∴ ，
∴此拋物線的頂點座標為***﹣2，3***，
故答案為：***﹣2，3***.
【點評】本題考查二次函式的性質，解題的關鍵是可以將拋物線的解析式化為頂點式.
13.把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其主檢視如圖.⊙O與矩形ABCD的邊BC，AD分別相切和相交***E，F是交點***，已知EF=CD=8，則⊙O的半徑為5.
【考點】垂徑定理的應用;勾股定理;切線的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】首先由題意，⊙O與BC相切，記切點為G，作直線OG，分別交AD、劣弧 於點H、I，再連線OF，易求得FH的長，然後設求半徑為r，則OH=8﹣r，然後在Rt△OFH中，r2﹣***16﹣r***2=82，解此方程即可求得答案.
【解答】解：由題意，⊙O與BC相切，記切點為G，作直線OG，分別交AD、劣弧 於點H、I，再連線OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH= EF=4，
設求半徑為r，則OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣***8﹣r***2=42，
解得r=5，
故答案為：5.
【點評】此題考查了切線的性質、垂徑定理以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用.
14.已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y= x2﹣1上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的座標為*** ，2***或***﹣ ，2***.
【考點】直線與圓的位置關係;二次函式圖象上點的座標特徵.
【分析】當⊙P與x軸相切時，點P的縱座標是2或﹣2，把點P的座標座標代入函式解析式，即可求得相應的橫座標.
【解答】解：依題意，可設P***x，2***或P***x，﹣2***.
①當P的座標是***x，2***時，將其代入y= x2﹣1，得
2= x2﹣1，
解得x=± ，
此時P*** ，2***或***﹣ ，2***;
②當P的座標是***x，﹣2***時，將其代入y= x2﹣1，得
﹣2= x2﹣1，即﹣1= x2
無解.
綜上所述，符合條件的點P的座標是*** ，2***或***﹣ ，2***;
故答案是：*** ，2***或***﹣ ，2***.
【點評】本題考查了直線與圓的位置關係，二次函式圖象上點的座標特徵.解題時，為了防止漏解或錯解，一定要分類討論.
15.把一個轉盤平均分成三等份，依次標上數字1、2、3.自由轉動轉盤兩次，把第一次轉動停止後指標指向的數字記作x，把第二次轉動停止後指標指向的數字的2倍記作y，以長度分別為x、y、5的三條線段能構成三角形的概率為 .***注：長度單位一致***
【考點】列表法與樹狀圖法;三角形三邊關係.
【分析】依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然後根據概率公式求出該事件的概率.
【解答】解：列表得：
x
y 1 2 3
1 ***1，2*** ***2，2*** ***3，2***
2 ***1，4*** ***2，4*** ***3，4***
3 ***1，6*** ***2，6*** ***3，6***
因此，點A***x，y***的個數共有9個;
則x、y、5的三條線段能構成三角形的有4組：2，4，5;3，4，5;2，6，5;3，6，5;
可得P= .
故答案為： .
【點評】此題主要考查了三角形三邊關係和列表法與樹狀圖法，列表法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果，適合於兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
16.扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半徑為4，點C在 上，CD⊥OA，垂足為點D，當△OCD的面積最大時，圖中陰影部分的面積為2π﹣4.
【考點】扇形面積的計算;二次函式的最值;勾股定理.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】由OC=4，點C在 上，CD⊥OA，求得DC= = ，運用S△OCD= OD• ，求得OD=2 時△OCD的面積最大，運用陰影部分的面積=扇形AOC的面積﹣△OCD的面積求解.
【解答】解：∵OC=4，點C在 上，CD⊥OA，
∴DC= =
∴S△OCD= OD•
∴ = OD2•***16﹣OD2***=﹣ OD4+4OD2=﹣ ***OD2﹣8***2+16
∴當OD2=8，即OD=2 時△OCD的面積最大，
∴DC= = =2 ，
∴∠COA=45°，
∴陰影部分的面積=扇形AOC的面積﹣△OCD的面積= ﹣ ×2 ×2 =2π﹣4，
故答案為：2π﹣4.
【點評】本題主要考查了扇形的面積，勾股定理，解題的關鍵是求出OD=2 時△OCD的面積最大.
三、解答題***共8題，共72分***
17.解方程：x***x﹣3***=4x+6.
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【專題】計算題.
【分析】先把方程化為一般式，然後利用求根公式法解方程.
【解答】解：x2﹣7x﹣6=0，
△=***﹣7***2﹣4×1×***﹣6***=73，
x= ，
所以x1= ，x2= .
【點評】本題考查瞭解一元二次方程﹣公式法：利用求根公式解方程.解決本題的關鍵是把方程化為一般式，確定a、b、c的值.
18.在一個不透明的布袋裡裝有4個標號為1、2、3、4的小球，它們的材質、形狀、大小完全相同，小凱從布袋裡隨機取出一個小球，記下數字為x，小敏從剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下數字為y，這樣確定了點P的座標***x，y***.
***1***請你運用畫樹狀圖或列表的方法，寫出點P所有可能的座標;
***2***求點P***x，y***在函式y=﹣x+5圖象上的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;一次函式圖象上點的座標特徵.
【專題】分類討論.
【分析】***1***首先根據題意畫出表格，即可得到P的所以座標;
***2***然後由表格求得所有等可能的結果與數字x、y滿足y=﹣x+5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：列表得：
y
x
***x，y*** 1 2 3 4
1 ***1，2*** ***1，3*** ***1，4***
2 ***2，1*** ***2，3*** ***2，4***
3 ***3，1*** ***3，2*** ***3，4***
4 ***4，1*** ***4，2*** ***4，3***
***1***點P所有可能的座標有：***1，2***，***1，3***，***1，4***，***2，1***，***2，3***，***2，4***，***3，1***，***3，2***，***3，4***，***4，1***，***4，2***，***4，3***共12種;
***2***∵共有12種等可能的結果，其中在函式y=﹣x+5圖象上的有4種，
即：***1，4***，***2，3***，***3，2***，***4，1***
∴點P***x，y***在函式y=﹣x+5圖象上的概率為：P= .
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率與不等式的性質.注意樹狀圖法與列表法可以不重複不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合於兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;注意概率=所求情況數與總情況數之比.
19.已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線的一點，AE⊥CD交DC的延長線於E，CF⊥AB於F，且CE=CF.
***1***求證：DE是⊙O的切線;
***2***若AB=6，BD=3，求AE和BC的長.
【考點】切線的判定;三角形的外接圓與外心.
【專題】計算題;證明題;壓軸題.
【分析】要證DE是⊙O的切線，只要連線OC，再證∠DCO=90°即可.
【解答】證明：***1***連線OC;
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，
∴∠1=∠2.
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，∠1=∠3.
∴OC∥AE.
∴OC⊥CD.
∴DE是⊙O的切線.
***2***∵AB=6，
∴OB=OC= AB=3.
在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，
∴∠D=30°，∠COD=60°.
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，
∴AE= AD= .
在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，
∴BC=OB=3.
【點評】本題考查了切線的判定，和解直角三角形.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連線圓心與這點***即為半徑***，再證垂直即可.
20.在平面直角座標系xOy中，△AOB三個頂點的座標分別為O***0，0***、A***﹣2，3***、B***﹣4，2***，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°後，點A、O、B分別落在點A′、O′、B′處.
***1***在所給的直角座標系xOy中畫出旋轉後的△A′O′B′;
***2***求點B旋轉到點B′所經過的弧形路線的長.
【考點】作圖-旋轉變換;弧長的計算.
【分析】***1***由△AOB繞點O逆時針旋轉90°後得到△A′O′B′可得OA′⊥OA，OB′⊥OB，A′B′⊥AB，OA′=OA，OB′=OB，A′B′=AB，故可畫出△A′OB′的圖形;
***2***點B旋轉到點B′所經過的弧形，由圖形可得出OB的長度和∠BOB′的弧度，由弧長公式可得出點B旋轉到點B′所經過的弧形路線的長.
【解答】解：***1***如圖; …
***2***易得：OB= =2 ;
∴ 的弧長=
=
= π，
所以點B旋轉到點B'所經過的弧形路線的長為 π.…
【點評】本題主要考查了旋轉的性質及弧長的計算公式，題目比較簡單，關鍵是根據題意正確畫出圖形.
21.某菜農搭建了一個橫截面為拋物線的大棚，建立如圖所示的直角座標系後，拋物線的表示式為y=﹣ x2+2.
***1***若菜農的身高是1.60米，他在不彎腰的情況下，橫向活動的範圍是幾米?***精確到0.01米***
***2***大棚的寬度是多少?
***3***大棚的最高點離地面幾米?
【考點】二次函式的應用.
【分析】***1***根據題意求出y=1.6時x的值，進而求出答案;
***2***根據題意求出y=0時x的值，進而求出答案;
***3***直接求出函式最值即可.
【解答】解：***1***∵拋物線的大棚函式表示式為y=﹣ x2+2，
∴菜農的身高為1.6m，即y=1.6，
則1.6=﹣ x2+2，
解得x≈±0.894.
故菜農的橫向活動的範圍是0.894﹣***﹣0.894***=1.788≈1.79***米***;
***2***當y=0則，0=﹣ x2+2，
解得：x1=2，x2=﹣2，
則AB=2×2=4米，
所以大棚的寬度是4m;
***3***當x=0時，y最大=2，
即大棚的最高點離地面2米.
【點評】此題主要考查了二次函式應用以及一元二次方程的解法，正確理解方程與函式關係是解題關鍵.
22.某農戶生產經銷一種農副產品，已知這種產品的成本價為20元/千克.市場調查發現，該產品每天的銷售量w ***千克***與銷售價x ***元/千克***有如下關係：w=﹣2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為y ***元***.
***1***求y與x之間的函式關係式，自變數x的取值範圍;
***2***當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
***3***如果物價部門規定這種產品的銷售價不得高於28元/千克，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少元?
***參考關係：銷售額=售價×銷量，利潤=銷售額﹣成本***
【考點】二次函式的應用;一元二次方程的應用.
【分析】***1***根據銷售利潤y=***每千克銷售價﹣每千克成本價***×銷售量w，即可列出y與x之間的函式關係式;
***2***先利用配方法將***1***的函式關係式變形，再利用二次函式的性質即可求解;
***3***先把y=150代入***1***的函式關係式中，解一元二次方程求出x，再根據x的取值範圍即可確定x的值.
【解答】解：***1***y=w***x﹣20***
=***x﹣20******﹣2x+80***
=﹣2x2+120x﹣1600，
則y=﹣2x2+120x﹣1600.
由題意，有 ，
解得20≤x≤40.
故y與x的函式關係式為：y=﹣2x2+120x﹣1600，自變數x的取值範圍是20≤x≤40;
***2***∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2***x﹣30***2+200，
∴當x=30時，y有最大值200.
故當銷售價定為30元/千克時，每天可獲最大銷售利潤200元;
***3***當y=150時，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，
整理，得x2﹣60x+875=0，
解得x1=25，x2=35.
∵物價部門規定這種產品的銷售價不得高於28元/千克，∴x2=35不合題意，應捨去.
故當銷售價定為25元/千克時，該農戶每天可獲得銷售利潤150元.
【點評】本題考查了二次函式的應用，難度適中.得到每天的銷售利潤的關係式是解決本題的關鍵，利用配方法或公式法求解二次函式的最值問題是常用的解題方法.
23.已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上***不含點A、B***，把△AOP沿OP對摺，點A的對應點C恰好落在⊙O上.
***1***當P、C都在AB上方時***如圖1***，判斷PO與BC的位置關係***只回答結果***;
***2***當P在AB上方而C在AB下方時***如圖2***，***1***中結論還成立嗎?證明你的結論;
***3***當P、C都在AB上方時***如圖3***，過C點作CD⊥直線AP於D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD.
【考點】切線的性質;等邊三角形的判定與性質;含30度角的直角三角形;圓心角、弧、弦的關係;圓周角定理.
【專題】幾何綜合題;壓軸題.
【分析】***1***PO與BC的位置關係是平行;
***2******1***中的結論成立，理由為：由摺疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等邊對等角得到∠A=∠APO，等量代換可得出∠A=∠CPO，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代換可得出∠CPO=∠PCB，利用內錯角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行;
***3***由CD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直於CD，又AD垂直於CD，利用平面內垂直於同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據兩直線平行內錯角相等得到∠APO=∠COP，再利用摺疊的性質得到∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形AOP三內角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的內角為60°得到∠AOP為60°，由OP平行於BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內角∠OCP為60°，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等於斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等於圓的半徑OP等於直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證.
【解答】解：***1***PO與BC的位置關係是PO∥BC;
***2******1***中的結論PO∥BC成立，理由為：
由摺疊可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A與∠PCB都為 所對的圓周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC;
***3***∵CD為圓O的切線，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由摺疊可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO為等邊三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO為等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°﹣***∠AOP+∠COB***=60°，又OP=OC，
∴△POC也為等邊三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD= PC，
又∵PC=OP= AB，
∴PD= AB，即AB=4PD.
【點評】此題考查了切線的性質，等邊三角形的判定與性質，含30°直角三角形的性質，摺疊的性質，圓周角定理，以及平行線的判定與性質，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵.
24.在平面直角座標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A***2，0***，B***6，0***兩點，交y軸於點 .
***1***求此拋物線的解析式;
***2***若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交於點D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸於點E、F兩點，求劣弧EF的長;
***3***P為此拋物線在第二象限圖象上的一點，PG垂直於x軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分?
【考點】二次函式綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】***1***將A、B、C的座標代入拋物線的解析式中，即可求得待定係數的值;
***2***根據***1***得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程聯立直線OD的解析式即可求出D點的座標;由於⊙D與x軸相切，那麼D點縱座標即為⊙D的半徑;欲求劣弧EF的長，關鍵是求出圓心角∠EDF的度數，連線DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點的橫座標，通過解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度數，即可得到∠EDF的度數，進而可根據弧長計算公式求出劣弧EF的長;
***3***易求得直線AC的解析式，設直線AC與PG的交點為N，設出P點的橫座標，根據拋物線與直線AC的解析式即可得到P、N的縱座標，進而可求出PN，NG的長;Rt△PGA中，△PNA與△NGA同高不等底，那麼它們的面積比等於底邊PN、NG的比，因此本題可分兩種情況討論：
①△PNA的面積是△NGA的2倍，則PN：NG=2：1;②△PNA的面積是△NGA的 ，則NG=2PN;
可根據上述兩種情況所得的不同等量關係求出P點的橫座標，進而由拋物線的解析式確定出P點的座標.
【解答】解：***1***∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A***2，0***，B***6，0***， ;
∴ ，
解得 ;
∴拋物線的解析式為： ;
***2***易知拋物線的對稱軸是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴點D的座標為***4，8***;
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8;
連線DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點M;
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF= ;
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°;
∴劣弧EF的長為： ;
***3***設直線AC的解析式為y=kx+b;
∵直線AC經過點 ，
∴ ，
解得 ;
∴直線AC的解析式為： ;
設點 ，PG交直線AC於N，
則點N座標為 ，
∵S△PNA：S△GNA=PN：GN;
∴①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG= GN;
即 = ;
解得：m1=﹣3，m2=2***捨去***;
當m=﹣3時， = ;
∴此時點P的座標為 ;
②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN;
即 = ;
解得：m1=﹣12，m2=2***捨去***;
當m=﹣12時， = ;
∴此時點P的座標為 ;
綜上所述，當點P座標為 或 時，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分.
【點評】此題主要考查了二次函式解析式的確定、函式圖象交點、圖形面積的求法等知識，需要特別注意的是***3***題中，△PGA被直線AC所分成的兩部分中，並沒有明確誰大誰小，所以要分類討論，以免漏解.
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