數學思想的論文

　　數學思想方法是形成學生的良好認識結構的紐帶,是由知識轉化為能力的橋樑。下文是小編為大家蒐集整理的關於的內容，歡迎大家閱讀參考!

　　篇1

　　淺析初中數學的數學思想

　　數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋樑。目前初中階段，主要數學思想方法有：數形結合的思想、分類討論的思想、化歸的思想、轉化思想、函式的思想、方程與函式的思想方法等。

　　一、 方程和函式思想

　　例1：去冬今春，我國西南地區遭遇歷史上罕見的旱災。解放軍某部接到了限期打30口井的作業任務。部隊官兵到達災區後，目睹災情，心急如焚，他們增派機械車輛，爭分奪秒，每天比原計劃多打3口井，結果提前5天完成任務。求原計劃每天打多少口井?

　　解析：設原計劃每天打x口井，依題意可得：

　　去分母得， ,

　　整理得,

　　解得：

　　經檢驗：

　　答：原計劃每天打3口井.

　　把變化過程中的一些制約變數用函式關係表達出來，用函式的概念、影象和性質去分析問題和解決問題就是函式思想，確立函式關係是解決問題的關鍵。

　　點評：把研究數學問題中的已知量與未知量之間的數量關係，轉化為方程或方程組等數學模型，從而是問題得到解決的方法就是方程思想。一般主要有列方程***組***解應用題和解代數題或幾何題，解題時要建立正確的方程模型，以便使問題得到解決。

　　例2：某賓館有50個房間供遊客住宿，當每個房間的房價為每天l80元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閒.賓館需對遊客居住的每個房間每天支出20元的各種費用.根據規定，每個房間每天的房價不得高於340元.設每個房間的房價每天增加x元***x為10的正整數倍***.

　　***1*** 設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函式關係式及自變數x的取值範圍;

　　***2*** 設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函式關係式;

　　***3*** 一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大? 最大利潤是多少元?

　　解析：***1***y=50- ***0 ***;

　　***2***W=***50- ******180+x-20***=- ;

　　***3*** W=- =- +10890,當x 時，W隨x的增大而增大，但0≤x≤160.∴當x=160時， .當x=160時，y=50- =34.

　　答：一天訂住34個房間時，賓館的利潤最大，最大利潤是10880元.

　　點評：大膽設元，抓住關係構建方程，合理轉化求解.

　　二、 分類討論思想

　　例3：函式 與 在同一平面直角座標系中的影象可能是*** ***.

　　解析：當m>0時，函式 與 在同一平面直角座標系中的影象如圖1;

　　圖1 圖2

　　當m<0時，函式 與 在同一平面直角座標系中的影象如圖2.對比上述四個選項，本題應選C.

　　說明：本題的函式表示式中的m有m>0或m<0兩種情況。對m進行分類討論，並根據一次函式、反比例函式的圖象和性質，繪製相應草圖即可解答. 點評：分類討論思想是對所求結論進行分類討論、逐類求解，然後綜合得解的思想方法，解題思路是：正確確定分類討論的物件，對討論物件合理分類、逐類討論、歸納 總結。

　　三、 化歸思想

　　例4：已知2x-3=0.求代數式 的值.

　　解析：∵2x-3=0，∴x=

　　當x= 時，原式= × + × -9

　　=0.

　　點評：化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題是採用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一 種方法。一般是將複雜的問題通過變化轉化為簡單的問題，將難解的問題轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。

　　綜觀近幾年的中 考試題，側重參透數學思想方法，尤其是壓軸題，考查學生是否會運用數學思想方法分析問題和解決問題。所以，在數學教學中，切實把握好上述幾個典型的數學思想方法，同時注重滲透的過程，依據課本內容和學生的認識水平，有 計劃有步驟地滲透，使其成為由知識轉化為能力的紐帶，成為提高學生的學習效率和數學能力的法寶。

　　篇2

　　淺析高等數學中的數學思想

　　一、函式思想

　　函式概念和函式思想的提出和運用，使得變數數學誕生了，常量數學發展到變數數學，函式思想起了決定性作用。函式是數學分析的研究物件，函式思想就是運用函式的觀點，把常量視作變數、化靜為動、化離散為連續，將待解決的問題轉化為函式問題，運用函式的性質加以解決的一種思想方法。

　　在數學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數、級數問題、數列極限等。

　　例1，證明：當x>0時，x- <1n***1+x***。

　　分析：這是一個不等式證明問題，直接證明有一定難度，但是將此問題轉化為函式問題的單調性，即可解決問題。

　　證明：構造輔助函式f***x***=1n***1+x***-x+ ，則f`***x***= -1+x，可證當x>0時，f`***x***>0，因此單調遞增。又因為f***0***=0，所以當x>0時，f***x***>f***0***=0，即原不等式成立。

　　例2，判斷∑***-1***n 的斂散性。

　　分析：這是一個級數問題，該級數為交錯級數，從函式的觀點出發，化離散為連續，轉化為函式問題，運用函式的性質，從而解決問題。

　　解：該級數為交錯級數，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值un= =是否單調減少且趨於為0。為此，將un連續化，設f***x***= ，由於f`***x***= ，當x>9時，f`***x***<0，即f***x***在***9，+∞***內單調遞減。將特殊值x=n***n為大於9***的自然數代入知，un=f***n***也遞減且極限為0，故此級數收斂。

　　二、極限的思想

　　極限的思想方法是近代數學的一種重要思想方法，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究初等函式的一門學科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變數、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統一的關係。極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續函式、導數、定積分、無窮小***大***量、級數的斂散性、多元函式的偏導數、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區間列上的區間套定理體現了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函式去逼近已知函式等。學習者以”極限理論”為工具，以現實具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質，可以增強分析和解決問題的能力。

　　對所求量，先構造與其相關的變數，前提是該變數無限變化的結果就是所求量，此時採用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是採用了極限的思想。

　　例3，如果物體做非勻速直線運動，其運動規律的函式是s=f***t***，其中t為時間，s是距離，求它在時刻t0的瞬時速度。

　　解：物體從時刻到時刻這段時間內的平均速度是：

　　v= = ，當|△t|很小時，時刻t0的瞬時速度v0≈v，因此當無限趨近於0***△t≠0*** 時，就無限趨近於v0，即v0=1im =1im 。

　　三、連續的思想

　　在數學分析中，把函式的連續性區域性化到當函式的自變數在某點鄰域內作微小變動時，相應函式值也在對應點的函式值鄰域內作微小變動。

　　這種思想應用到連續函式求極限的情形，就可以把極限的複雜問題轉化為求函式值的問題，從而大大簡化了運算。如果給定的函式不連續，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉化為連續函式，再利用上面的方法求其極限。

　　例4，求1im ，***a>0，a≠1***。

　　解：將給定的函式變形為1oga***1+x*** ，再根據對數函式的連續性，有1im =1im1og***1+x*** =1oga[1im***1+x*** ]=1ogae。

　　四、數形結合的思想

　　數學是研究空間形式和數量關係的科學，而空間形式和數量關係之間往往存在密切的聯絡，又有各自特點。數形結合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數的規範性，通過數與形的聯絡轉化來研究數學物件和解決數學問題。具體包括：數轉化為形的思想;形轉化為數的思想。這種方法使得複雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優解決方案。

　　數形結合的思想在數學分析課程中的應用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義，藉助幾何圖形，對抽象問題進行幾何解釋，使抽象問題結合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質的知識。

　　比如：極限、曲線的漸近線、導數與微分、二元函式偏導數與全微分、定積分與重積分、反常積分***無窮積分與瑕積分***、函式的單調性、函式的凹凸性等概念的幾何意義，對於確切理解並正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。

　　又比如：閉區間上連續函式基本性質***介值性定理、根的存在定理***、微分中值定理***羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理***、積分中值定理、費馬定理、隱函式存在唯一性定理等幾何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發證明定理結論方面有很大幫助。

　　例5，下面僅談談幾何圖形對拉格朗日定理的內容的理解及證明所起的作用。

　　為了敘述的方便，首先將拉格朗日定理陳述如下：若函式f滿足如下：***1***f在閉區間[a，b]上連續;***2***f在開區間***a，b***內可導，則在***a，b***內至少存在一點，使得f`******= 。

　　它的幾何意義是若一條曲線在[a，b]上連續，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少存在一點θ***，f*********，過點θ的切線平行於割線AB***圖1***。此定理的證明關鍵在於運用其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構造輔助函式使其滿足羅爾定理的要求，即滿足函式在端點的取值相同，最後用羅爾定理得出最後的結論。因此，想辦法構造一個輔助函式F***x***，使得在[a，b]上連續，在***a，b***內可導並且F***a***=F***b***。觀察圖1可知，割線與曲線有兩個交點A與B，要使F***a***=F***b***，只需使F***x***的影象經過A，B兩點，F***x***可取為曲線縱座標與割線縱座標之差。其中，曲線的方程為y=f***x***，割線AB的方程為y=f***a***+ ***x-a***，可見，幾何圖形在此定理的證明起到關鍵的作用。