範數是什麼?

可以用通俗易懂的話告訴我F範數是什麼意思？有什麼作用？謝謝

範數表示的是向量的長度或者矩陣的大小，它是一種運算，只要向量運算滿足非負定性，其次性，三角不等式性和乘法相容性，矩陣運算滿足上面的前三條性質就可以定義為範數運算，比如F=2的時候表示向量或者矩陣的2範數，F=1的時候代表1範數。常用向量範數的定義簡單一些，就是所有元素絕對值的F次方相加再開F次方，常用矩陣範數有1範數2範數和無窮範數，1範數就是列範數，矩陣的各列絕對值之和的最大值，無窮範數就是行範數，矩陣各行的絕對值之和的最大值，2範數就是鐠範數，它在矩陣不為0的時候等於矩陣的譜半徑。

什麼叫範數？具體怎麼理解

R為線性空間，|| ||為R到非負數的映射，如果|| ||滿足1.對R中的任意元素x，有||x||=0的充要條件為x=0。

2.對R中的任意元素x和y，有||x+y||<=||x||+||y||

3.對R中的任意元素x和任意實數a，有||ax||=|a| ||x||

則稱|| ||為R上的一個範數。

理解方面，可以視為模或者距離的概念的推廣

什麼是譜範數

矩陣裡面的範數有什麼意義？

舉個例子 在數值計算中計算矩陣的算法中常常要判斷算法的解是否收斂 這時最準確的方法是判斷矩陣的最大特徵值 但是矩陣的特徵值得計算相對麻煩 所以可以近似的用範數代替 但是不夠準確 但是很高效

理論上講範數的概念屬於賦範線性空間，最重要的作用是誘導出距離，進而還可以研究收斂性。 對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別，因為有限維空間的範數都等價(Minkowski定理)，實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。其中理論性質最好的是2-範數，因為它可以由內積來誘導，同時和譜有著密切關聯，所以常用來進行理論分析。

什麼是矩陣的範數

在介紹主題之前，先來談一個非常重要的數學思維方法：幾何方法

。在大學之前，我們學習過一次函數、二次函數、三角函數、指數函數、對數函數等，方程則是求函數的零點；到了大學，我們學微積分、複變函數、實變函數、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函數及其性質，

函數是數學一條重要線索，另一條重要線索——幾何

，在函數的研究中發揮著不可替代的作用，幾何是函數形象表達，函數是幾何抽象描述，幾何研究“形”，函數研究“數”，它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。

函數圖象聯繫了函數和幾何，表達兩個數之間的變化關係，

映射推廣了函數的概念，使得自變量不再僅僅侷限於一個數，也不再侷限於一維，任何事物都可以拿來作映射，維數可以是任意維，傳統的函數圖象已無法直觀地表達高維對象之間的映射關係，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。

由於映射的對象可以是任何事物

，為了便於研究映射的性質以及數學表達，我們首先需要對映射的對象進行“量化”，取定一組“基”，確定事物在這組基下的座標，事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的映射可以理解為從一個空間中的點到另一個空間的點的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象為映射空間中的一個點，這就是泛函中需要研究的對象——函數。

從一個線性空間到另一個線性空間的線性映射梗可以用一個矩陣來表達，矩陣被看線性作映射，線性映射的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得，比如矩陣的秩反映了線性映射值域空間的維數，

矩陣範數反映了線性映射把一個向量映射為另一個向量，向量的“長度”縮放的比例。

範數是把一個事物映射到非負實數，且滿足非負性、齊次性、三角不等式，符合以上定義的都可以稱之為範數，所以，範數的具體形式有很多種（由內積定義可以導出範數，範數還也可以有其他定義，或其他方式導出），要理解矩陣的算子範數，首先要理解向量範數的內涵。矩陣的算子範數，是由向量範數導出的，由形式可以知：

由矩陣算子範數的定義形式可知，矩陣A把向量x映射成向量Ax

，取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量Ax範數最大值作為矩陣A的範數，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的算子範數是相容的。由幾何意義可知，矩陣的算子範數必然大於等於矩陣譜半徑（最大特徵值的絕對值），矩陣算子範數對應一個取到向量Ax範數最大時的向量x方向，譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解SVD

，分解成左右各一個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉，奇異值，就是縮放的比例，最大奇異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣算子範數大於等於矩陣的最大奇異值，酉陣在此算子範數的意義下，範數大於等於1

。此外，不同的矩陣範數是等價的。

範數理論是矩陣分析的基礎，度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數，範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。

什麼是範數，範數的定義，特點和應用

範數可定義為向量內積開根號。

範數通常被用來衡量信號的強度或者誤差的大小。