向量的代數運算是什麼?

General 更新 2024-09-16

代數到底是什麼？

代數是研究數字和文字的代數運算理論和方法，更確切的說，是研究實數和複數，以及以它們為係數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。初等代數是更古老的算術的推廣和發展。

簡介

在古代，當算術裡積累了大量的，關於各種數量問題的解法後，為了尋求有系統的、更普遍的方法，以解決各種數量關係的問題，就產生了以解方程的原理為中心問題的初等代數。

代數是由算術演變來的，這是毫無疑問的。至於什麼年代產生的代數學這門學科，就很不容易說清楚了。比如，如果你認為“代數學”是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧。這種“代數學”是在十六世紀才發展起來的。

溯源

如果我們對代數符號不是要求像現在這樣簡練，那麼，代數學的產生可上溯到更早的年代。

西方人將公元前三世紀古希臘數學家丟番圖看作是代數學的鼻祖，而真正創立代數的則是古阿拉伯帝國時期的偉大數學家默罕默德·伊本·穆薩（我國稱為“花刺子密”，生卒約為公元780-850年）。而在中國，用文字來表達的代數問題出現的就更早了。

“代數”作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數學家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣麼甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數學》。當然，代數的內容和方法，我國古代早就產生了，比如《九章算術》中就有方程問題。

組成

·初等代數

基本內容

三種數——有理數、無理數、複數

三種式——整式、分式、根式

中心內容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組。

初等代數的內容大體上相當於現代中學設置的代數課程的內容，但又不完全相同。比如，嚴格的說，數的概念、排列和組合應歸入算術的內容；函數是分析數學的內容；不等式的解法有點像解方程的方法，但不等式作為一種估算數值的方法，本質上是屬於分析數學的範圍；座標法是研究解析幾何的……。這些都只是歷史上形成的一種編排方法。

初等代數是算術的繼續和推廣，初等代數研究的對象是代數式的運算和方程的求解。代數運算的特點是隻進行有限次的運算。全部初等代數總起來有十條規則。這是學習初等代數需要理解並掌握的要點。

規則

五條基本運算律：加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、分配律；

兩條等式基本性質：等式兩邊同時加上一個數，等式不變；等式兩邊同時乘以一個非零的數，等式不變；

三條指數律：同底數冪相乘，底數不變指數相加；指數的乘方,底數不變，指數相乘；積的乘方等於乘方的積。

初等代數學進一步的向兩個方面發展，一方面是研究未知數更多的一次方程組；另一方面是研究未知數次數更高的高次方程。這時候，代數學已由初等代數向著高等代數的方向發展了。

(1)a-b=0,a=b

(2)a+b=0,a=-b,b=-a

(3)a*b=0,a=0 或 b=0

（4）（a-b) (a-b)=0,a=b

·高等代數

研究對象

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學裡開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數初步、多項式代數。

高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁複。集合是激有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的並且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也有很大的不同了。