求曲線的切線方程 ?

General 更新 2024-07-03

求曲線的切線方程

由題意：

對函式求導，這是複合函式求導。

令t=x+1,則原函式由y=1/t集合t=1+x複合而成

y'=(1/t)'*(1+x)'=-1/t^2*1=-1/(1+x)^2

令x=1,y'=-1/2^2=-1/4

所以在A點處的切線斜率為-1/4,

所以切線方程：y=-1/4 *(x-1)+1/2,即y=-x/4+3/4

如何求一個曲線的切線方程

曲線C：y=f(x),曲線上點P(a,f(a))

f(x)的導函式f '(x)存在

（1）以P為切點的切線方程：y-f(a)=f '(a)(x-a)

【例如：已知函式f(x)=（3x^2+6x-6）/（x-1）求函式f(x)在點（-1,9/2）處的切線方程；

f(x)=(3x^2+6x-6)/(x-1)=[(3x^2-3x)+(9x-9)+3]/(x-1)=(3x+9)+3/(x-1)

f(-1)=(3-6-6)/(-1-1)=9/2,即點(-1,9/2)在函式影象上,

f′(x)=3-3/(x-1)^2,

f′(-1)=3-3/(-1-1)^2=9/4,

所以切線方程為 y-9/2=(9/4)(x+1),

即y=(9/4)x+27/4.

（2）若過P另有曲線C的切線,切點為Q(b,f(b)),

則切線為y-f(a)=f '(b)(x-a),也可y-f(b)=f '(b)(x-b),並且[f(b)-f(a)]/(b-a)=f '(b)

【例如：求雙曲線y=1／x過點(1,0))的切線方程.

對雙曲線y=1/x,f(x)=1/x,導函式f′(x)=-1/(x^2),

因為f(1)=1/1=1≠0,所以點P(1,0)不在此雙曲線上

設過P(1,0)的直線與雙曲線相切於點T(a,f(a)),

這時切線的斜率為k=[f(a)-0]/(a-1)=f′(a)=-1/(a^2),