最值問題是高考的熱點,而圓錐曲線的最值問題幾乎是高考的必考點,不僅會在選擇題或填空題中進行考察,在綜合題中也往往將其設計為試題考查的核心。
圓錐曲線的最值問題,一般涉及的內容有
1.兩條線段最值問題
2.圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值
3.圓錐曲線上點到x軸或y軸上某定點的距離的最值等等
講到最值問題,肯定有不等號。而常用的方法有
1.圓錐曲線本身的性質,例如橢圓中a>b>0
2.不等式的性質,例如均值不等式
3.利用引數方程進行換元
下面結合例題講一講
方法/步驟
例1
分析題目可知,根據拋物線定義,P點到焦點距離等於P點到準線距離。題目即求P點到準線距離跟PQ的和的最小值。由圖可知,當且僅當P在直線y=-1時,距離之和最小。
例2
分析題目,單從 PF + PA 好像無從下手,可以引入另一焦點F',使P,A,F'在同一側,由 PF =2a+ PF' ,分析從而得出兩邊之和大於第三邊,當且僅當三點在同一直線時距離之和最小的結論。
當所求的最值是圓錐曲線上點到某條直線的距離的最值時,可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線,則兩平行線間的距離就是所求的最值,切點就是曲線上去的最值時的點。
例3
由計算可知,圓心到直線的距離大於半徑,即圓跟直線相離。那麼圓上一點到直線的最小距離就是圓心到直線的距離減去半徑。
另一解法是先設跟圓相切的平行直線方程,然後聯立圓的方程,根據△=0求出直線的方程。再求兩平行直線的距離。
對比第一種解法,這種解法的計算量較大。所以,一般跟圓相關的計算,建議還是用點到直線的距離公式比較好。
上例上,如果是圓錐曲線跟直線呢?
例4
遇到這個問題,一般都是先設出平行直線方程,然後將直線方程跟圓錐曲線聯立,求出直線方程。再求兩直線的距離。