高三數學函式解題方法方法

　　什麼是高三數學函式解題方法?　今天小編為大家推薦高三數學函式解題方法，希望大家在學習的路上越來越好。

　　高三數學函式解題方法是什麼

　　一.觀察法

　　通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。

　　例1求函式y=3+√2-3x的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√2-3x的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√2-3x≥0，

　　故3+√2-3x≥3。

　　∴函式的知域為.

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：1被開方數的非負性，2值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

　　練習：求函式y=[x]0≤x≤5的值域。答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝

　　二.反函式法

　　當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。

　　例2求函式y=x+1/x+2的值域。

　　點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。

　　解：顯然函式y=x+1/x+2的反函式為:x=1-2y/y-1,其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為{y∣y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函式y=10x+10-x/10x-10-x的值域。答案：函式的值域為{y∣y<-1或y>1｝

　　三.配方法

　　當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域

　　例3：求函式y=√-x2+x+2的值域。

　　點撥：將被開方數配方成平方數，利用二次函式的值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2]

　　點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函式y=2x-5+√15-4x的值域.答案:值域為{y∣y≤3}

　　四.判別式法

　　若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。

　　例4求函式y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。

　　點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。

　　解：將上式化為y-2x2-y-2x+y-3=0*

　　當y≠2時,由Δ=y-22-4y-2x+y-3≥0，解得：2

　　當y=2時,方程*無解。∴函式的值域為2

　　點評：把函式關係化為二次方程Fx,y=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±√cx2+dx+e的函式。

　　練習：求函式y=1/2x2-3x+1的值域。答案：值域為y≤-8或y>0。

　　五.值法

　　對於閉區間[a,b]上的連續函式y=fx,可求出y=fx在區間[a,b]內的較值,並與邊界值fa.fb作比較,求出函式的值,可得到函式y的值域。

　　例5已知2x2-x-3/3x2+x+1≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤3/2,

　　∴z=-x-22+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

　　當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

　　∴函式z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的值。對開區間，若存在值，也可通過求出值而獲得函式的值域。

　　練習：若√x為實數，則函式y=x2+3x-5的值域為

　　A.-∞，+∞B.[-7，+∞]C.[0，+∞D.[-5，+∞

　　答案：D。

　　六.圖象法

　　通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。

　　例6求函式y=∣x+1∣+√x-22的值域。

　　點撥：根據值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。

　　解：原函式化為-2x+1x≤1

　　y=3-1

　　2x-1x>2

　　它的圖象如圖所示。

　　顯然函式值y≥3,所以，函式值域[3，+∞]。

　　點評：分段函式應注意函式的端點。利用函式的圖象

　　求函式的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

　　求函式值域的方法較多，還適應通過不等式法、函式的單調性、換元法等方法求函式的值域。

　　七.單調法

　　利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

　　例1求函式y=4x-√1-3xx≤1/3的值域。

　　點撥：由已知的函式是複合函式，即gx=-√1-3x,y=fx+gx，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。

　　解：設fx=4x,gx=-√1-3x,x≤1/3,易知它們在定義域內為增函式，從而y=fx+gx=4x-√1-3x

　　在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f1/3+g1/3=4/3,因此，所求的函式值域為{y|y≤4/3｝。

　　點評：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。

　　練習：求函式y=3+√4-x的值域。答案：{y|y≥3｝

　　八.換元法

　　以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。

　　例2求函式y=x-3+√2x+1的值域。

　　點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的值，確定原函式的值域。

　　解：設t=√2x+1t≥0,則

　　x=1/2t2-1。

　　於是y=1/2t2-1-3+t=1/2t+12-4≥1/2-4=-7/2.

　　所以，原函式的值域為{y|y≥-7/2｝。

　　點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，通過求出二次函式的值，從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

　　練習：求函式y=√x-1–x的值域。答案：{y|y≤-3/4｝

　　高考數學五大主要解題思路

　　高考數學解題思想一：函式與方程思想

　　函式思想是指運用運動變化的觀點，分析和研究數學中的數量關係，通過建立函式關係或建構函式運用函式的影象和性質去分析問題、轉化問題和解決問題;方程思想，是從問題的數量關係入手，運用數學語言將問題轉化為方程方程組或不等式模型方程、不等式等去解決問題。利用轉化思想我們還可進行函式與方程間的相互轉化。

　　高考數學解題思想二：數形結合思想

　　中學數學研究的物件可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯絡的，這個聯絡稱之為數形結合或形數結合。它既是尋找問題解決切入點的“法寶”，又是優化解題途徑的“良方”，因此我們在解答數學題時，能畫圖的儘量畫出圖形，以利於正確地理解題意、快速地解決問題。

　　高考數學解題思想三：特殊與一般的思想

　　用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據這一點，我們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣精彩。

　　高考數學解題思想四：極限思想解題步驟

　　極限思想解決問題的一般步驟為：1對於所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變數;2確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量;3建構函式數列並利用極限計演算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。

　　高考數學解題思想五：分類討論思想

　　我們常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之後，不能再以統一的方法、統一的式子繼續進行下去，這是因為被研究的物件包含了多種情況，這就需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合歸納得解，這就是分類討論。引起分類討論的原因很多，數學概念本身具有多種情形，數學運演算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。在分類討論解題時，要做到標準統一，不重不漏。

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