浙教版二次函式知識點

　　二次函式在初中數學中佔有重要位置，特別是在中考的最後一道大題，算是數學大題中的壓軸題，接下來小編為你整理了，一起來看看吧。

　　I.定義與定義表示式

　　一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：y=ax^2+bx+c

　　a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.則稱y為x的二次函式。

　　二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函式的三種表示式

　　一般式：y=ax^2+bx+ca，b，c為常數，a≠0

　　頂點式：y=ax-h^2+k [拋物線的頂點Ph，k]

　　交點式：y=ax-x₁x-x ₂ [僅限於與x軸有交點Ax₁ ，0和 Bx₂，0的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

　　h=-b/2a k=4ac-b^2/4a x₁,x₂=-b±√b^2-4ac/2a

　　III.二次函式的影象

　　在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸即直線x=0

　　2.拋物線有一個頂點P，座標為：P -b/2a ，4ac-b^2/4a 當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時即ab>0，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時即ab<0，對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交於0，c

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a

　　V.二次函式與一元二次方程

　　特別地，二次函式以下稱函式y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程以下稱方程，即ax^2+bx+c=0

　　此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

　　1.二次函式y=ax^2，y=ax-h^2，y=ax-h^2 +k，y=ax^2+bx+c各式中，a≠0的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：

　　當h>0時，y=ax-h^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

　　當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=ax-h^2 +k的圖象;

　　當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=ax-h^2+k的圖象;

　　當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=ax-h^2+k的圖象;

　　當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=ax-h^2+k的圖象;

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+ca≠0的圖象，通過配方，將一般式化為y=ax-h^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+ca≠0的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是-b/2a，[4ac-b^2]/4a.

　　3.拋物線y=ax^2+bx+ca≠0，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：

　　1圖象與y軸一定相交，交點座標為0，c;

　　2當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點Ax₁，0和Bx₂，0，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　a≠0的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|

　　當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

　　當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0a<0，則當x= -b/2a時，y最小大值=4ac-b^2/4a.

　　頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值.

　　6.用待定係數法求二次函式的解析式

　　1當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+ca≠0.

　　2當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=ax-h^2+ka≠0.

　　3當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=ax-x₁x-x₂a≠0.

　　浙教版二次函式解題方法

　　1.求證“兩線段相等”的問題：

　　藉助於函式解析式，先把動點座標用一個字母表示出來;然後看兩線段的長度是什麼距離即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到x軸y軸的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。

　　2.“平行於y軸的動線段長度的最大值”的問題：

　　由於平行於y軸的線段上各個點的橫座標相等常設為t，藉助於兩個端點所在的函式圖象解析式，把兩個端點的縱座標分別用含有字母t的代數式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行於y軸的線段長度計算公式y上-y下，把動線段的長度就表示成為一個自變數為t，且開口向下的二次函式解析式，利用二次函式的性質，即可求得動線段長度的最大值及端點座標。

　　3.“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：

　　方法1先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率k相等，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關於x的的一元二次方程，由題有△=0因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以△=0從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點座標，然後再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。

　　方法2該問題等價於相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的座標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。

　　4.常數問題：

　　1點到直線的距離中的常數問題：

　　“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等於一個固定常數”的問題：先借助於拋物線的解析式，把動點座標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫座標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱座標，從而拋物線上的動點座標就求出來了。

　　2三角形面積中的常數問題：

　　“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等於一個定常數”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點其座標需用一個字母表示到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫座標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱座標，從而拋物線上的動點座標就求出來了。

　　3幾條線段的齊次冪的商為常數的問題：

　　用K點法設出直線方程，求出與拋物線或其它直線的交點座標，再運用兩點間的距離公式和根與係數的關係，把問題中的所有線段表示出來，並化解即可。

　　5.“在定直線常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：

　　先求出兩個定點中的任一個定點關於定直線的對稱點的座標，再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其座標很易求出利用求交點座標的方法。