全國各考區圓錐曲線的題目“一大一小”分值16-19分,佔據難題題號,是高考數學的主要丟分點。其中,丟分原因:
選擇填空題:無處下手,找不到切入點。
解答題:有一些思路,但計算能力不夠,或者方法不正確,無法解出答案。
下面先回顧圓錐曲線的定義,然後再討論如何用定義的方法解答選擇填空題。
方法/步驟
橢圓:
定義:到兩定點距離之和為一個常數的點的軌跡
方程式: PF1 + PF2 =2a(a>0)
討論:F1(-2,0), F2(2,0)且 PF1 + PF2 =4
點P的軌跡是橢圓嗎?
答案:不是,是線段
所以橢圓的定義是到兩定點距離之和為一定值且2a>2c
例1
分析題目,用橢圓的定義將三角形的周長表示出來。
雙曲線:
定義:到兩定點距離之差為一個定值的點的軌跡
方程式: PF1 - PF2 =2a(a>0)
討論:若F1(-2,0), F2(2,0)且 PF1 - PF2 =3
點P的軌跡是雙曲線嗎?
答案:不是
雙曲線定義:
PF1 - PF2 =2a且2a<2c
例2
分析題目,用雙曲線的定義將三角形的周長表示出來。
拋物線
定義:到定點距離等於到定直線的距離的點的軌跡方程式:y^2=2px或x^2=2py,其中(p>0)
思考: 點P(x,y)(y>0)到點(0,1)的距離比它到x軸的距離大1,求點P的軌跡方程
答案:
相當於點P到直線y=-1的距離和它到點(0,1)的距離相等,所以點P的軌跡(拋物線)方程是
4y=x^2
例3
由A的座標知道A在拋物線外。PM的值嘗試用拋物線的定義轉化,變為求點P到焦點的距離和P到A的距離之和的最小值。
注意事項
遇到圓錐曲線的選擇填空題目,要先去想定義。
見到題目條件,要嘗試轉化成數學語言